三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，∠B=
π
3
，b=4，acos2
C
2
+ccos2
A
2
=6，S△ABC=
 
．
考點：正弦定理,余弦定理
專題：解三角形
分析：利用正弦定理以及二倍角的余弦函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡方程，通過正弦定理求得a+c=2b=8，兩邊平方后由余弦定理可求ac，代入三角形面積公式即可求值．
解答： 解：∵由已知可得：acos2
C
2
+ccos2
A
2
=
3b
2
，
∴sinA
1+cosC
2
+sinC
1+cosA
2
=
3sinB
2
，
即：sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（C+A）=3sinB，
即sinA+sinC=2sinB．
∴a+c=2b=8．
∴兩邊平方可得：a2+c2=64-2ac．
∴由余弦定理可得：cosB=
1
2
=
a2+c2-b2
2ac
=
64-2ac-16
2ac
=
48-2ac
2ac
，整理可解得：ac=16．
∴S△ABC=
1
2
acsinB=
1
2
×16×sin
π
3
=4
3
．
故答案為：4
3
．
點評：本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，余弦定理，三角形面積公式，二倍角公式的應用，考查計算能力，綜合性較強，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1，連接EC、ED，則sin∠CED=
 
．

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已知不等式x|x-a|＜2，對一切x∈[0，2]成立，則實數(shù)a的取值范圍
 
．

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π
3
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a
平移即可，則
a
可以是
 
．

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已知函數(shù)f（x）=
x-2，x＞10
f[f(x+6)]，x≤10
，則f（5）的值是（　�。�
A、8B、9C、10D、11

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若tanα=3，則
sin2α-2sinαcosα-cos2α
4cos2α-3sin2α
的值為
 
．

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已知集合A=（-∞，0），B=[-2，a]，若A∪B=A，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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