三角形ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,∠B=
π
3
,b=4,acos2
C
2
+ccos2
A
2
=6,S△ABC=
 
考點:正弦定理,余弦定理
專題:解三角形
分析:利用正弦定理以及二倍角的余弦函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡方程,通過正弦定理求得a+c=2b=8,兩邊平方后由余弦定理可求ac,代入三角形面積公式即可求值.
解答: 解:∵由已知可得:acos2
C
2
+ccos2
A
2
=
3b
2
,
∴sinA
1+cosC
2
+sinC
1+cosA
2
=
3sinB
2

即:sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB,
∴sinA+sinC+sin(C+A)=3sinB,
即sinA+sinC=2sinB.
∴a+c=2b=8.
∴兩邊平方可得:a2+c2=64-2ac.
∴由余弦定理可得:cosB=
1
2
=
a2+c2-b2
2ac
=
64-2ac-16
2ac
=
48-2ac
2ac
,整理可解得:ac=16.
∴S△ABC=
1
2
acsinB=
1
2
×16×sin
π
3
=4
3

故答案為:4
3
點評:本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù),余弦定理,三角形面積公式,二倍角公式的應用,考查計算能力,綜合性較強,屬于中檔題.
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π
3
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a
平移即可,則
a
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sin2α-2sinαcosα-cos2α
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