Question

已知F₁，F₂分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，P是橢圓E上的點，以F₁P為直徑的圓經(jīng)過F₂，·＝a².直線l經(jīng)過F₁，與橢圓E交于A，B兩點，F₂與A，B兩點構(gòu)成△ABF₂.

(1)求橢圓E的離心率；

(2)設(shè)△F₁PF₂的周長為2＋，求△ABF₂的面積S的最大值．

Answer 1

解：(1)∵F₁，F₂分別是橢圓E的左、右焦點，P是橢圓E上的點，以F₁P為直徑的圓經(jīng)過F₂，∴PF₂⊥x軸．

∴|PF₂|＝.

∴|PF₂|²＝a²，即＝a.

∴a²＝4b²，即a²＝4(a²－c²)，化簡得3a²＝4c²，

所以＝.

∴橢圓E的離心率等于.

(2)∵△F₁PF₂的周長為2＋，

∴2a＋2c＝2＋.

解方程組

∴b²＝.

∴橢圓E的方程為x²＋4y²＝1.

當直線l斜率不存在時，△ABF₂的面積

S＝××2c＝.

當直線l斜率存在時，設(shè)斜率為k，由F₂與A，B兩點構(gòu)成△ABF₂，得k≠0.

由已知得直線l的方程為y＝k，即2kx－2y＋k＝0.

∴F₂到直線l的距離d＝

由得(1＋4k²)x²＋4k²x＋3k²－1＝0.

∴△ABF₂的面積S的最大值為.

又∵>，

綜上，△ABF₂的面積S的最大值為.