Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1開口向上，g（x）=log 

1

2

f（x）．
（1）令b=-3，若g（x）在x∈[1，2]上單凋遞減，求a的取值范圍；
（2）若f（x+2）為偶函數(shù)，定義區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度為n-m，問(wèn)是否存在常數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，3]且a≥1的值域?yàn)镈，且D的長(zhǎng)度為10-a²？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（x）=ax²-3x+1，a＞0，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）在x∈[1，2]上單凋遞增，且f（1）＞0，從而解得；
（2）由f（x+2）為偶函數(shù)可得f（x）關(guān)于x=2對(duì)稱，從而得到f（x）=a（x-2）²-4a+1，討論對(duì)稱軸與區(qū)間[a，3]的位置關(guān)系，從而確定值域D，進(jìn)而求D的長(zhǎng)度為10-a²時(shí)a的值．

解答： 解：（1）由題意，f（x）=ax²-3x+1，a＞0；
又∵g（x）在x∈[1，2]上單凋遞減，
∴f（x）在x∈[1，2]上單凋遞增，且f（1）＞0，
即

3 2a ≤1 a-3+1＞0

，
解得a＞2；
（2）∵f（x+2）為偶函數(shù)，
∴f（x）關(guān)于x=2對(duì)稱，
故-

b

2a

=2，解得，4a+b=0；
f（x）=a（x-2）²-4a+1，
假設(shè)存在常數(shù)a，
則若1≤a≤2，
則f_min（x）=-4a+1，f_max（x）=f（3）=-3a+1，
則-3a+1-（-4a+1）=10-a²，
即a²+a-10=0，在[1，2]上無(wú)解；
若2＜a＜3，
則f_min（x）=f（a）=a³-4a²+1，f_max（x）=f（3）=-3a+1，
則-3a+1-（a³-4a²+1）=10-a²，
即a³-5a²+3a+10=0，
作函數(shù)F（a）=a³-5a²+3a+10的圖象如下，

故不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．