Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-a，a∈R
（1）若不等式f（x）有最大值

17

8

，求實數(shù)a的值；
（2）若不等式f（x）＞-2x²-3x+1-2a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由

-4a2-1

4a

=

17

8

，解出即可；（2）通過討論a的范圍，得不等式組，解出即可；
（3）問題者解不等式（x-1）（ax+a+1）＞0，通過討論a的范圍，從而求出不等式的解集．

解答： 解：（1）由題意a＜0，且

-4a2-1

4a

=

17

8

，解得：a=-2或a=-

1

8

；
（2）由f（x）＞-2x²-3x+1-2a，得（a+2）x²+4x+a-1＞0，
若a=-2，不等式4x-3＞0不對一切實數(shù)x恒成立，舍去，
若a≠-2，由題意得

a+2＞0 △=16-4(a+2)(a-1)＜0

，解得：a＞2，
故a的范圍是：（2，+∞）；
（3）不等式為ax²+x-a-1＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0，
∵a＜0，∴（x-1）（x+

a+1

a

）＜0，
∵1-（-

a+1

a

）=

2a+1

a

，
∴-

1

2

＜a＜0時，1＜-

a+1

a

，解集為：{x|1＜x＜-

a+1

a

}，
a=-

1

2

時，（x-1）²＜0，解集為∅，
a＜-

1

2

時，1＞-

a+1

a

，解集為{x|-

a+1

a

＜x＜1}．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求不等式的解集，求參數(shù)的范圍，考查了分類討論思想，是一道中檔題．