已知f(x)=|2x-
3
4
|+|2x+
5
4
|,設(shè)m,n∈R+,且m+n=1.
(Ⅰ)求不等式f(x)≤
5
2
的解集;
(Ⅱ)求證:
2m+1
+
2n+1
≤2
f(x)
考點:絕對值不等式的解法
專題:計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)運用零點分區(qū)間的方法討論:當x
3
8
時,當x≤-
5
8
時,當-
5
8
<x<
3
8
,去絕對值,解不等式,最后求并集即可;
(Ⅱ)利用分析法結(jié)合基本不等式即可證得結(jié)論.
解答: (Ⅰ)解:不等式f(x)≤
5
2
即為|x-
3
8
|+|x+
5
8
|≤
5
4
,
當x
3
8
時,不等式即為x-
3
8
+x+
5
8
5
4
,解得x≤
1
2
,則有
3
8
≤x≤
1
2

當x≤-
5
8
時,不等式即為
3
8
-x-x-
5
8
5
4
,解得x≥-
3
4
,則有-
3
4
≤x≤-
5
8
;
當-
5
8
<x<
3
8
,不等式即為
3
8
-x+x+
5
8
5
4
,即1≤
5
4
,則有-
5
8
<x<
3
8

則原不等式的解集為[-
3
4
,
1
2
];
(Ⅱ)證明:∵依據(jù)絕對值的幾何意義可知,
函數(shù)f(x)=|2x-
3
4
|+|2x+
5
4
|表示數(shù)軸上點P(2x)到點A(
3
4
)和B(-
5
4
)兩點的距離,
其最小值為f(x)min=2,
∴只需證明:
2m+1
+
2n+1
≤2
2
成立,
2(2m+1)
2+2m+1
2
=m+
3
2
2(2n+1)
2+2n+1
2
=n+
3
2

于是
2
2m+1
+
2n+1
)≤m+n+3=4,
2m+1
+
2n+1
≤2
2
成立,
故要證明的不等式成立.
點評:本題考查絕對值不等式的解法,考查絕對值的幾何意義與基本不等式的應(yīng)用,考查分析、運算與論證能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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已知集合A={x|x2-2x-8≥0},B={x|1-|x-a|>0},且A∩B=∅,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的導函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,給出下列三個結(jié)論:
①f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3);
②函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值;
③a=-6,b=9.正確的結(jié)論是( 。
A、①③B、①②C、②③D、①②③

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一個幾何體的三視圖如圖所示,其中主(正)視圖是邊長為2的正三角形,俯視圖是正方形,那么該幾何體的左(側(cè))視圖的面積是(  )
A、2
3
B、
3
C、4
D、2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦點F(c,0)的直線交雙曲線于A,B兩點,交y軸于點P,則有
|PA|
|AF|
+
|PB|
|BF|
為定值
2ac
b2
,類比雙曲線這一結(jié)論,在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>c)中,
|PA|
|AF|
+
|PB|
|BF|
也為定值,則這個定值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

直線l的方向向量
s
=(-1,1,1),平面π的法向量為
n
=(2,x2+x,-x),若直線l∥平面π,則實數(shù)x的值為( 。
A、-2
B、-
2
C、
2
D、±
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某產(chǎn)品的廣告費用x萬元與銷售額y萬元的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表
廣告費用x(萬元)4235
銷售額y(萬元)492639m
根據(jù)上表可得回歸方程
y
=bx+a中b為9.4,據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時,銷售額為65.5,則a,m為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某養(yǎng)豬廠計劃將重量為25kg到50kg的10000頭豬向外出售,現(xiàn)從中隨機抽取了100頭豬進行稱重,已知這些豬的重量的頻率分布表及不完整的頻率分布直方圖(如圖).
分組(單位:cm)頻數(shù)頻率
[25,30)50.05
[30,35)0.20
[35,40)35
[40,45)300.30
[45,50]100.10
(1)頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?并補全頻率分布直方圖,再根據(jù)頻率分布直方圖估計這10000頭豬中重量在[35,45)的頭數(shù);
(2)在抽出的100頭豬中按重量再采用分層抽樣法從中抽取20頭,求重量低于35kg的豬的頭數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

把一個骰子連續(xù)拋擲兩次,第一次得到的點數(shù)為a,第二次得到的點數(shù)為b,則事件“a=b”的概率為( 。
A、
1
6
B、
1
36
C、
1
12
D、
1
4

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