Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側棱底面，底面為長方形，且，是的中點，作交于點.

（1）證明：平面；

（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在（2）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2);(3).

【解析】分析：（1）推導出，，從而平面，進而，再證出，從而平面，，再由，能證明平面．
（2）由兩兩垂直，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．
（3）求出平面的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角D-BP-C的余弦值．

詳解：

（1）證明：∵底面，平面，∴，

由于底面為長方形，∴，而，

∴平面，

∵平面，∴，

∵，為的中點，∴，

∵，∴平面，

∴，又，，

∴平面.

（2）由題意易知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，可得，

設，則有，∴

∴，

∴，

設直線與平面所成角為，且由（1）知為平面的法向量

∴

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（3）由（2）知，，

設平面的法向量，由，則

令，則，

∴

由（1）平面，

∴為平面PBC的法向量，

設二面角為，則

所以二面角的余弦值為.