Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個零點，；

（i）求滿足條件的最小正整數(shù)的值.

（ii）求證：.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）（i）；（ii）見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求單調(diào)區(qū)間，只要求得導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍（和）可解不等式和不等式，從而得單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）(1)求得，由有兩個零點得，的最小值為，且， 由此可得，由函數(shù)是增函數(shù)，通過估值可得最小正整數(shù)的值；（2）證明，設(shè)，由，可把用表示，不等式中的可替換，然后變形為的不等式，設(shè)，則，只要證相應(yīng)地關(guān)于的不等式在上成立，這又可用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)的函數(shù)得出．

試題解析：

（Ⅰ）．

當時， 在上恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，

此時 無單調(diào)減區(qū)間．

當時，由，得，，得，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（Ⅱ）（1）．

因為函數(shù)有兩個零點，所以，此時函數(shù)在單調(diào)遞增， 在單調(diào)遞減.

所以的最小值，即.

因為，所以.

令，顯然在上為增函數(shù)，且

，所以存在.

當時，；當時，，所以滿足條件的最小正整數(shù).

又當時，，所以時，有兩個零點．

綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)的值為3.

（2）證明 ：不妨設(shè)，于是

即，

．

所以.

因為，當時，，當時，，

故只要證＞即可，即證明，

即證，

也就是證.

設(shè)．

令，則.

因為，所以，

當且僅當時，，

所以在上是增函數(shù)．

又，所以當總成立,所以原題得證．