Question

定義：函數(shù)f（x）與實(shí)數(shù)m的一種符號(hào)運(yùn)算為：m*f（x）=f（x）[f（x+m）-f（x）]，已知：f（x）=

1

2

x²-3x-

3

4

，g（x）=4*f（x）+

7

2

x²．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在x∈[0，2]上，g（x）＞2a-3恒成立，試求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)定義求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將不等式g（x）＞2a-3恒成立，轉(zhuǎn)化求g（x）的最小值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵g（x）=4*f（x）+

7

2

x²．
∴g（x）=2x³-

21

2

x²+9x+3，
∴g′（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1），
由g′（x）＞0得，x＞3或x＜

1

3

，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，

1

2

），（3，+∞），
令g′（x）＜0⇒

1

2

＜x＜3
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（

1

2

，3）．
（2）由 g（x）＞2a-3對(duì)x∈[0，2]上恒成立得g（x）_最小值＞2a-3，
由（1）知g（x）最小值為-5
∴-5＞2a-3，
即a＜-1，
∴a∈（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．