Question

設f(x)=

1

2

x2+ax+

e3

ex

．
（1）若x∈(

3

2

，+∞)時，f（x）單調遞增，求a的取值范圍；
（2）討論方程f（x）+|lnx|-ax-b=0的實數(shù)根的個數(shù)．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)在某點取得極值的條件

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)導數(shù)，當x∈(

3

2

，+∞)時，f（x）單調遞增，說明當x∈(

3

2

，+∞)時，
f′(x)=x+a-

e3

ex

＞0，即a＞

e3

ex

-x在x∈(

3

2

，+∞)恒成立，又函數(shù)g(x)=

e3

ex

-x在x∈(

3

2

，+∞)上遞減，∴a≥g(

3

2

)=-

3

2

；
（2）將方程化為

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|=b，令h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|，利用導數(shù)求出h（x）的單調區(qū)間，討論h（x）的取值，當x→0時，h（x）→+∞，當x→+∞時，h（x）→+∞，∴當b＜

1

2

+e

1

2

時，方程無解，當b=

1

2

+e

1

2

時，方程有一根，當b＞

1

2

+e

1

2

時，方程有兩根．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

2

x2+ax+

e3

ex

，∴f′(x)=x+a-

e3

ex

，
∵當x∈(

3

2

，+∞)時，f（x）單調遞增，∴當x∈(

3

2

，+∞)時，f′(x)=x+a-

e3

ex

＞0，
∴a＞

e3

ex

-x，函數(shù)g(x)=

e3

ex

-x 在x∈(

3

2

，+∞)上遞減，∴a≥g(

3

2

)=-

3

2

；
（2）方程f（x）+|lnx|-ax-b=0，∴

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|=b，
令h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|，
①當x＞1時，h′(x)=x-

e3

ex

+

1

x

，
∵x+

1

x

≥2，

e3

ex

≤

e

＜2，∴h′（x）＞0，
即h（x）在（1，+∞）上遞增．
②當0＜x≤1時，h′(x)=x-

e3

ex

-

1

x

，
∵x-

1

x

＜0，

e3

ex

＞0，∴h′（x）＜0，
即h（x）在（0，1]上遞減．
∵h(1)=

1

2

+e

1

2

，
當x→0時，h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|→+∞，
當x→+∞時，h(x)=

1

2

x2+

e3

ex

+|lnx|→+∞，
∴當b＜

1

2

+e

1

2

時，方程無解，
當b=

1

2

+e

1

2

時，方程有一根，
當b＞

1

2

+e

1

2

時，方程有兩根．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了導函數(shù)的符號與原函數(shù)單調性間的關系，訓練了函數(shù)的零點的判斷方法，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是高考試卷中的壓軸題．