Question

9．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a＞0時，方程f（x）=a在區(qū)間（1，+∞）上只有一個解；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）-aln（x-1）-ax，其中a＞0．若h（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)g（x）在（1，+∞）的零點個數(shù)，求出方程在（1，+∞）的解的個數(shù)即可；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）-aln（x-1）-ax，a＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，h（x₀）=（x₀-1）${e}^{{x}_{0}}$-aln（x₀-1）-ax₀=a-alna≥0，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-a=（x-1）e^x-a，a＞0，
g′（x）=xe^x，由（Ⅰ）知，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）遞增，
且g（1）=-a＜0，g（a+1）=ae^a+1-a=a（e^a+1-1）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上只有1個零點，
方程f（x）=a在區(qū)間（1，+∞）上只有1個解；
（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）-aln（x-1）-ax，a＞0，h（x）的定義域是{x|x＞1}，
h′（x）=xe^x-$\frac{a}{x-1}$-a=$\frac{x}{x-1}$[（x-1）e^x-a]，
令h′（x）=0，則（x-1）e^x-a=0，
由（Ⅱ）得g（x）=（x-1）e^x-a在區(qū)間（1，+∞）上只有1個零點，是增函數(shù)，
不妨設(shè)g（x）的零點是x₀，則（x₀-1）${e}^{{x}_{0}}$-a=0，
故h′（x），h（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	遞減	極小值h（x0）	遞增

∴函數(shù)h（x）的最小值是h（x₀），
h（x₀）=（x₀-1）${e}^{{x}_{0}}$-aln（x₀-1）-ax₀，
由（x₀-1）${e}^{{x}_{0}}$-a=0，得x₀-1=$\frac{a}{{e}^{{x}_{0}}}$，
故h（x₀）=$\frac{a}{{e}^{{x}_{0}}}$•${e}^{{x}_{0}}$-aln$\frac{a}{{e}^{{x}_{0}}}$=a-alna，
由題意h（x₀）≥0，即a-alna≥0，解得：0＜a≤e，
故a的范圍是（0，e]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)的零點以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．