Question

19．已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集為（0，5）．
（1）求b，c的值；
（2）若對任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得方程2x²+bx+c=0的兩個根為0和5，由韋達定理，解方程可得b，c的值；
（2）由題意可得對任意x∈[-1，1]，不等式2x²-10x+t≤2恒成立，即對任意x∈[-1，1]，不等式t≤-2x²+10x+2恒成立，所以t≤（-2x²+10x+2）_min，x∈[-1，1]，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得最小值，即可得到所求范圍；
另外：令g（x）=2x²-10x+t-2，x∈[-1，1]，求得g（x）的單調(diào)性和最大值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）因為f（x）=2x²+bx+c，所以不等式f（x）＜0即為2x²+bx+c＜0，
由不等式2x²+bx+c＜0的解集為（0，5），
所以方程2x²+bx+c=0的兩個根為0和5，
所以$\left\{\begin{array}{l}0+5=-\frac{2}\\ 0×5=\frac{c}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=-10\\ c=0.\end{array}\right.$；
（2）由（1）知：f（x）=2x²-10x，
所以“對任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立”等價于
“對任意x∈[-1，1]，不等式2x²-10x+t≤2恒成立”，
即：對任意x∈[-1，1]，不等式t≤-2x²+10x+2恒成立，
所以t≤（-2x²+10x+2）_min，x∈[-1，1]，
令g（x）=-2x²+10x+2，x∈[-1，1]，
則$g（x）=-2{（x-\frac{5}{2}）^2}+\frac{29}{2}$，
所以g（x）=-2x²+10x+2在[-1，1]上為增函數(shù)，
所以g_min（x）=g（-1）=-10，
所以t≤-10，即t的取值范圍為（-∞，-10]．
另解：由（Ⅰ）知：f（x）=2x²-10x，
所以“對任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立”等價于
“對任意x∈[-1，1]，不等式2x²-10x+t-2≤0恒成立”，
令g（x）=2x²-10x+t-2，x∈[-1，1]，則g_max（x）≤0，x∈[-1，1]，
因為g（x）=2x²-10x+t-2在[-1，1]上為減函數(shù)，
所以g_max（x）=g（-1）=10+t≤0，
所以t≤-10，即t的取值范圍為（-∞，-10]．

點評 本題考查二次不等式和二次方程的關(guān)系，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．