Question

19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），且a₁=a₁₀，則首項(xiàng)a₁所有可能取值中最大值為16．

Answer 1

分析 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，或a_n+1a_n=1．又a₁=a₁₀，a₉a₁₀=1，應(yīng)該使得a₉取得最小值．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，或a_n+1a_n=1．
又a₁=a₁₀，a₉a₁₀=1，應(yīng)該使得a₉取得最小值．
根據(jù)a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$．
取a₉=a₁×$（\frac{1}{2}）^{8}$，a₁＞0．又a₉=$\frac{1}{{a}_{10}}=\frac{1}{{a}_{1}}$，
∴${a}_{1}^{2}$=2⁸，
解得a₁=2⁴=16．
∴a₁的最大值是16．
故答案為：16．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．