Question

8．若曲線y=ax²在曲線y=$\frac{x}{2{x}^{2}-1}$（x＞1）的上方，則a的取值范圍為[1，+∞）．

Answer 1

分析 由曲線y=ax²在曲線y=$\frac{x}{2{x}^{2}-1}$（x＞1）的上方得到a＞$\frac{1}{2{x}^{3}-x}$，構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2{x}^{3}-x}$，x＞1，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最大值即可．

解答 解：∵曲線y=ax²在曲線y=$\frac{x}{2{x}^{2}-1}$（x＞1）的上方
∴ax²-$\frac{x}{2{x}^{2}-1}$＞0，在（1，+∞）恒成立，
∴a＞$\frac{1}{2{x}^{3}-x}$，
設(shè)f（x）=$\frac{1}{2{x}^{3}-x}$，x＞1，
∴f′（x）=$\frac{1-6{x}^{2}}{（2{x}^{3}-x）^{2}}$＜0在（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（1）=1，
∴a≥1
故答案為：[1，+∞）

點評 本題考查了函數(shù)恒成立的問題，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題