【題目】已知a≥2,不等式logax+loga[(a+1)ak-1-x]≥2k-1的解集為A,其中a∈N*,k∈N.
(1)求A.
(2)設(shè)f(k)表示A中自然數(shù)個(gè)數(shù),求和Sn=f(1)+f(2)+…+f(n).
(3)當(dāng)a=2時(shí),比較Sn與n2+n的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2);(3)見解析
【解析】分析:(1)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為不等式組,解之即可;
(2)由(1)明確f(k)表示A中自然數(shù)個(gè)數(shù),累加求和即可;
(3)先用特例猜想二者大小,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
詳解:(1)不等式同解于
,
由③,得x2-(a+1)ak-1x+a2k-1≤0.
∵a≥2,∴ak-1<ak.
∴ak-1≤x≤ak,且該式滿足①,②.
∴A={x|ak-1≤x≤ak}.
(2)由題意知f(k)=ak-ak-1+1,Sn=(a-a0+1)+(a2-a+1)+…+(an-an-1+1)=an+n-1.
(3)當(dāng)a=2時(shí),Sn=2n+n-1,Sn-(n2+n)=2n-n2-1.
當(dāng)n=1時(shí),S1=12+1;
當(dāng)n=2時(shí),S2<22+2;
當(dāng)n=3時(shí),S3<32+3;
當(dāng)n=4時(shí),S4<42+4;
當(dāng)n=5時(shí),S5>52+5.
猜想當(dāng)n≥5(n∈N)時(shí),Sn>n2+n.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=5時(shí),已驗(yàn)證.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥5)時(shí),Sk>k2+k成立,即2k>k2+1成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1-[(k+1)2+(k+1)]=2k+1-(k+1)2-1=2×2k-k2-2k-2>2(k2+1)-k2-2k-2=k2-2k=k(k-2)>0,即Sk+1>[(k+1)2+(k+1)],∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.
根據(jù)①②可知,對(duì)任何n≥5(n∈N*),都有Sn>n2+n成立.
綜上所述,當(dāng)n=1時(shí),Sn=n2+n;當(dāng)n=2,3,4時(shí),Sn<n2+n;當(dāng)n≥5(n∈N*)時(shí),Sn>n2+n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)請(qǐng)?jiān)谒o的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象;
(2)根據(jù)函數(shù)的圖象回答下列問題:①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
②求函數(shù)的值域;③求關(guān)于的方程在區(qū)間上解的個(gè)數(shù).(回答上述3個(gè)小題都只需直接寫出結(jié)果,不需給出演算步驟)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方體ABCD﹣A1B1C1D的棱AB,AA1上的點(diǎn),且AE=AB,AF=AA1 , M,N分別為線段D1E和線段C1F上的點(diǎn),則與平面ABCD平行的直線MN有( 。
A.1條
B.3條
C.6條
D.無數(shù)條
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù),其中a∈(1,2),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為定義在上的偶函數(shù),,且當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,則不等式的解集為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由國家公安部提出,國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)()》于年月日正式實(shí)施.車輛駕駛?cè)藛T酒飲后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閥值見表.經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn),一般情況下,某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”見圖,
喝瓶啤酒的情況
且圖表示的函數(shù)模型,則該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過多長時(shí)間才可以駕車(時(shí)間以整小時(shí)計(jì)算)?(參考數(shù)據(jù):,)
( 。
駕駛行為類型 | 閥值 |
飲酒后駕車 | , |
醉酒后駕車 |
車輛駕車人員血液酒精含量閥值
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)且時(shí),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司的底薪70元,每單抽成4元;乙公司無底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成5元,超出40單的部分每單抽成7元,假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員,并分別記錄其100天的送餐單數(shù),得到如表頻數(shù)表: 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 20 | 40 | 20 | 10 | 10 |
乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表
送餐單數(shù) | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
天數(shù) | 10 | 20 | 20 | 40 | 10 |
(Ⅰ)現(xiàn)從甲公司記錄的100天中隨機(jī)抽取兩天,求這兩天送餐單數(shù)都大于40的概率;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,回答下列問題:
(i)記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(ii)小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx-1,當(dāng)x=-2時(shí)有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值與最小值.
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