【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，長軸長為4，且過點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)，過A作x軸的垂線交橢圓C與另一點(diǎn)Q（Q不與重合）.設(shè)的外心為G，求證為定值.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)長軸及橢圓過點(diǎn)即可求出；

（2）由題意設(shè)直線為，聯(lián)立橢圓方程可求，求出外接圓圓心，計算，化簡即可證明為定值.

（1）由題意知，

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，解得，

所以橢圓方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，

代入橢圓方程得.

設(shè)，則，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以.

因為G是的外心，所以G是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，

的垂直平分線方程為，

令，得，即，所以，

所以，所以為定值，定值為4.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在單位圓O：x2+y2＝1上任取一點(diǎn)P（x，y），圓O與x軸正向的交點(diǎn)是A，設(shè)將OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為θ，記x，y關(guān)于θ的表達(dá)式分別為x＝f（θ），y＝g（θ），則下列說法正確的是（　　）

A.x＝f（θ）是偶函數(shù)，y＝g（θ）是奇函數(shù)

B.x＝f（θ）在為增函數(shù)，y＝g（θ）在為減函數(shù)

C.f（θ）+g（θ）≥1對于恒成立

D.函數(shù)t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值為

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，過動點(diǎn)作于點(diǎn)，的平分線交軸于點(diǎn)，且，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條直線，分別交曲線于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．當(dāng)直線的斜率之和為2時，直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

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【題目】已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

（i）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ii）當(dāng)最小時，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校開展學(xué)生社會法治服務(wù)項目，共設(shè)置了文明交通，社區(qū)服務(wù)，環(huán)保宣傳和中國傳統(tǒng)文化宣講四個項目，現(xiàn)有該校的甲、乙、丙、丁4名學(xué)生，每名學(xué)生必須且只能選擇1項．

（1）求恰有2個項目沒有被這4名學(xué)生選擇的概率；

（2）求“環(huán)保宣傳”被這4名學(xué)生選擇的人數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍.

（2）求的極大值與極小值之和的取值范圍.

（3）若，則是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線上的一點(diǎn)，，為拋物線上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù).

（1）求直線的斜率；

（2）設(shè)直線過點(diǎn)并交拋物線于，兩點(diǎn)，且，直線與軸交于點(diǎn)，試探究與的夾角是否為定值，若是則求出定值，若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（，0），（，0），動點(diǎn)M（x，y）滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3，記M的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）直線y＝kx+m與曲線E相交于P，Q兩點(diǎn)，若曲線E上存在點(diǎn)R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的取值范圍．

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【題目】如圖，是以為直徑的圓上一點(diǎn)，，等腰梯形所在的平面垂直于⊙所在的平面，且.

（1）求與所成的角；

（2）若異面直線和所成的角為，求二面角的余弦值.

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