Question

11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，△ABC的面積為S，（a²+b²）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，則cosA=$\frac{{\sqrt{30}}}{15}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式，余弦定理化簡可得：a²+b²=2c²，利用余弦定理，正弦定理化簡sinAcosB=2cosAsinB可得：b²-a²=-$\frac{{c}^{2}}{3}$，聯(lián)立解得a²=$\frac{7}{6}$c²，b²=$\frac{5}{6}$c²，進而利用余弦定理即可解得cosA的值．

解答 解：∵（a²+b²）tanC=8S，可得：（a²+b²）•$\frac{sinC}{cosC}$=4absinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴a²+b²=4abcosC=4ab•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2（a²+b²-c²），整理可得：a²+b²=2c²，①
又∵sinAcosB=2cosAsinB，
∴a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=2b•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：b²-a²=-$\frac{{c}^{2}}{3}$，②
∴聯(lián)立①②解得：a²=$\frac{7}{6}$c²，b²=$\frac{5}{6}$c²，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{5{c}^{2}}{6}+{c}^{2}-\frac{7{c}^{2}}{6}}{2×\sqrt{\frac{5}{6}}c×c}$=$\frac{{\sqrt{30}}}{15}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{30}}}{15}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．