Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n+a_n+1）=2ⁿ⁺¹-2，則a₈=85．

Answer 1

分析 （a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n+a_n+1）=2ⁿ⁺¹-2，n≥2時(shí)，（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=2ⁿ-2，可得a_n+a_n+1=2ⁿ．進(jìn)而得到a_n+1-a_n-1=2^n-1．利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n+a_n+1）=2ⁿ⁺¹-2，
n≥2時(shí)，（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=2ⁿ-2，
∴a_n+a_n+1=2ⁿ．
n≥3時(shí)，a_n-1+a_n=2^n-1．
∴a_n+1-a_n-1=2^n-1．
∵a₁=1，可得a₂=2²-2-1=1．
則a₈=（a₈-a₆）+（a₆-a₄）+（a₄-a₂）+a₂=2⁶+2⁴+2²+1=$\frac{{4}^{4}-1}{4-1}$=85．
故答案為：85．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)、數(shù)列的遞推關(guān)系、累加求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．