Question

判斷函數(shù)y=x³+x的單調(diào)性和奇偶性，并證明你的結(jié)論．
提示：（a³-b³）=（a-b）（a²+ab+b²））．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義分別進(jìn)行判斷和證明．

解答： 證明：1）設(shè)?x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
有f（x₁）-f（x₂）=(x13+x1)-(x23+x2)
=(x13-x23)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)
=(x1-x2)(x12+x1x2+

1

4

x22+

3

4

x22+1)
=(x1-x2)((x1+

1

2

x2)2+

3

4

x22+1)
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0顯然(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x22+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴y=x³+x在R上是增函數(shù)
2）觀察可知原函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f（-x）=（-x）³+（-x）=-（x³+x）=f（x）
∴y=x³+x為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．