Question

已知函數(shù)f（x）=kx-e^x（k∈R），g（x）=

lnx

x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）-e^x在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（Ⅲ）（只理科生做）求證：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）f′（x）=k-e^x，x∈R，對k分類討論即可得出．
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）-e^x在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，則kx≥

lnx

x

，可得k≥

lnx

x2

．令h（x）=

lnx

x2

，則不等式f（x）≥g（x）-e^x在區(qū)間（0，+∞）上恒成立?k≥h（x）_max．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可得出．
（III）由（Ⅱ）知：

lnx

x2

≤

1

2e

，

lnx

x4

＜

1

2e

•

1

x2

，（x≥2）．令x=n，則

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

(

1

n-1

-

1

n

)．
“累加求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=k-e^x，x∈R，∴f′（x）=0得e^x=k．
當k≤0時，f′（x）＜0，f（x）在R上單調遞減；
當k＞0時，令f′（x）=0得x=lnk
由f′（x）＞0的f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，lnk）；
由f′（x）＜0的f（x）的單調遞減區(qū)間為（lnk，+∞）．
（Ⅱ）不等式f（x）≥g（x）-e^x在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，則kx≥

lnx

x

，可得k≥

lnx

x2

．
令h（x）=

lnx

x2

，則不等式f（x）≥g（x）-e^x在區(qū)間（0，+∞）上恒成立?k≥h（x）_max．
令h′（x）=

1-2lnx

x

=0，解得x=

e

．
列表如下：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
h′（x）	+	0	-
h（x）	單調遞增	極大值	單調遞減

由表格可知：當x=

e

時，函數(shù)h（x）有極大值即最大值，且h(

e

)=

1

2e

．
因此k≥

1

2e

．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知：

lnx

x2

≤

1

2e

，∴

lnx

x4

＜

1

2e

•

1

x2

，（x≥2）．
令x=n，則

lnn

n4

＜

1

2e

•

1

n2

＜

1

2e

(

1

n-1

-

1

n

)．
∴

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=

1

2e

(1-

1

n

)＜

1

2e

．

點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值，考查了“累加求和”、“裂項求和”方法，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．