Question

如圖，BC是半圓F的直徑，點A在半圓F上，BC=4

2

，AB=BD=4，BD垂直于半圓F所在在的平面，EC∥DB，且EC=

1

2

DB．
（1）求證：DF⊥平面AEF；
（2）求DA與平面AEF所成的角；
（3）求二面角B-AF-E的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）運用解直角三角形知識，可得DF⊥EF，再由勾股定理的逆定理，可得DF⊥AF，再由線面垂直的判定定理，即可得證；
（2）由線面所成角的定義，可得∠DAF即為DA與平面AEF所成的角，通過解直角三角形ADF，即可得到；
（3）在△ACF中，過C作CH⊥AF，交于H，連接EH，由線面垂直的性質和判定，可得∠EHC的補角即為二面角B-AF-E的平面角，通過解直角三角形，即可得到所求值．

解答： （1）證明：由于EC∥BD，BD⊥平面ABC，則BD⊥BC，EC⊥BC，
由于tan∠DFB=

BD

BF

=

4

2 2

=

2

，tan∠CFE=

EC

CF

=

2

2 2

=

2

2

，
則tan∠DFB•tan∠CFE=1，即有∠DFB+∠EFC=90°，則∠DFE=90°，即DF⊥EF
在直角△ABC中，AF=2

2

，而DF=

16+8

=2

6

，AD=

16+16

=4

2

，
則有DF⊥AF，
有線面垂直判定定理得，DF⊥平面AEF；
（2）解：由于DF⊥平面AEF，則∠DAF即為DA與平面AEF所成的角，
在直角三角形ADF中，AD=4

2

，AF=2

2

，則cos∠DAF=

2 2

4 2

=

1

2

，
即有∠DAF=60°，則DA與平面AEF所成的角為60°；
（3）解：在△ACF中，過C作CH⊥AF，交于H，連接EH，
由于EC⊥平面ABC，則EC⊥AF，即有AF⊥平面ECH，
即有AF⊥EH，∠EHC的補角即為二面角B-AF-E的平面角，
在三角形ACF中，CH=4sin45°=2

2

，
在直角三角形ECH中，EH=

EC2+CH2

=2

3

，
cos∠EHC=

CH

EH

=

2 2

2 3

=

6

3

．
即有二面角B-AF-E的余弦值為-

6

3

．

點評：本題考查空間線面垂直的性質和判定定理及運用，考查直線和平面所成角的求法，和二面角的平面角的求法，考查運算能力，屬于中檔題．