Question

已知數(shù)列滿足,我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)時(shí)，得到無(wú)窮數(shù)列：當(dāng)時(shí),得到有窮數(shù)列：.
（Ⅰ）求當(dāng)為何值時(shí)；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足, ，求證：取數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列；
（Ⅲ）若，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)為何值時(shí)
(Ⅱ)證明略
（Ⅲ）

（Ⅰ）
 
(Ⅱ) 解法一：,,
當(dāng)時(shí), ,
當(dāng)時(shí),,,
當(dāng)時(shí),,.
一般地, 當(dāng)時(shí),可得一個(gè)含有項(xiàng)的有窮數(shù)列.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)時(shí), ,顯然,可得一個(gè)含有2項(xiàng)的有窮數(shù)列
(2)假設(shè)當(dāng)時(shí),,得到一個(gè)含有項(xiàng)的有窮數(shù)列,其中
,則時(shí),,,
由假設(shè)可知,得到一個(gè)含有項(xiàng)的有窮數(shù)列,其中.
所以,當(dāng)時(shí), 可以得到一個(gè)含有項(xiàng)的有窮數(shù)列,,其中
由(1),(2)知,對(duì)一切,命題都成立.
解法二：

故取數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列.
（Ⅲ）即,
所以要使,當(dāng)且僅當(dāng)它的前一項(xiàng)滿足.
由于,所以只須當(dāng)時(shí),都有
由,得, 解得.