6.(1)已知雙曲線E過點(diǎn)P(-2,4$\sqrt{3}$),且與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1有相同的漸近線,求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線y=kx-1與雙曲線E交于A,B兩點(diǎn),則是否存在實(shí)數(shù)k,使得線段AO和BO垂直,(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,試求出k的值,若不存在,試說明理由.

分析 (1)利用待定系數(shù)法,即可求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為kOA•kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,整理后代入根與系數(shù)關(guān)系求解實(shí)數(shù)k的值.

解答 解:(1)依題意,設(shè)所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=λ(λ≠0),
將點(diǎn)P(-2,4$\sqrt{3}$)的坐標(biāo)代入,
得:2-6=λ,
∴λ=-4,
∴所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{y}^{2}}{32}$-$\frac{{x}^{2}}{8}$=1;
(2)聯(lián)立直線y=kx-1與雙曲線E,消去y得(k2-4)x2-2kx-31=0,
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),
則kOA•kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(kx1-1)(kx2-1)=0,
即(k2+1)x1x2-k(x1+x2)+1=0,
∴(k2+1)•$\frac{-31}{{k}^{2}-4}$-k•$\frac{2k}{{k}^{2}-4}$+1=0,
方程無解,故不存在實(shí)數(shù)k,使得線段AO和BO垂直.

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),考查待定系數(shù)法的應(yīng)用,屬于中檔題.

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