Question

已知直線(xiàn)C₁：

x=1+tcosa y=2+tsina

（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，且C₁與C₂相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)tana=-2時(shí)，求|AB|；
（Ⅱ）當(dāng)a變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)P的參數(shù)方程，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）先消去參數(shù)將曲線(xiàn)C₁與C₂的參數(shù)方程化成普通方程，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)被圓所截弦長(zhǎng)問(wèn)題，
（II）根據(jù)已知求出P點(diǎn)的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)的取值范圍及幾何意義可分析出P點(diǎn)軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)tanα=-2時(shí)，將直線(xiàn)C₁的參數(shù)方程化成直角坐標(biāo)方程為y=-2x+4，
曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，
則圓C₂的圓心為C₂（1，0），半徑r=1，…（3分）
則圓心C₂到直線(xiàn)C₁：y=-2x+4的距離d=

2

5

，
則|AB|=2

r2-d2

=2

1- 4 5

=

2 5

5

．…（5分）
（Ⅱ）由直線(xiàn)C₁的方程可知，直線(xiàn)C₁恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1，2），
記該定點(diǎn)為Q，弦AB的中點(diǎn)P滿(mǎn)足C₂P⊥QP，
故點(diǎn)P到C₂Q的中點(diǎn)D（1，1）的距離為定值1，
當(dāng)直線(xiàn)C₁與圓C₂相切時(shí)，切點(diǎn)分別記為E，F(xiàn)．…（7分）

由圖，可知∠EDC₂=∠FDC₂=60°，
則點(diǎn)P的參數(shù)方程為

x=1+cosφ y=1+sinφ

(

7π

6

＜φ＜

11π

6

)，
表示的是一段圓�。�…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，利用參數(shù)方程研究軌跡問(wèn)題的能力．