Question

已知點(diǎn)P（1+

10

cosa，

10

sina）（a∈[0，2π]），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)Q在曲線C：ρ=

1

2 sin(θ- π 4 )

上．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)P的軌跡與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）先寫出點(diǎn)P的軌跡方程，再由

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入化簡即得P的極坐標(biāo)方程，運(yùn)用兩角差的正弦公式
化簡曲線C，再由

x=ρcosθ y=ρsinθ

，即可得到曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）先求出點(diǎn)P的軌跡與曲線C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再將其化為極坐標(biāo)，注意ρ≥0，0≤θ＜2π．

解答：解：（Ⅰ）∵

x=1+ 10 cosα y= 10 sinα

∴點(diǎn)P的軌跡方程為：（x-1）²+y²=10．
將

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入得ρ²-2ρcosθ-9=0．
∵ρ=

1

2 sin(θ- π 4 )

，
∴ρsinθ-ρcosθ=1，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x-y+1=0．
（Ⅱ）由

(x-1)2+y2=10 x-y+1=0

，解得

x=2 y=3

或

x=-2 y=-1

，
∴交點(diǎn)極坐標(biāo)為（

13

，arccos

2 13

13

），（

5

，π+arccos

2 5

5

）．

點(diǎn)評：本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查基本的運(yùn)算能力．