Question

已知橢圓過點，且離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），橢圓的右頂點為，且滿足，試判斷直線是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

 

Answer 1

(1) ；（2）.

【解析】

試題分析：(1)本小題通過待定系數(shù)法列出兩個關于的方程，通過解方程組求出橢圓的方程，包含著二次方的運算需掌握；(2)本小題是直線與橢圓的位置關系的問題，這類題目的常用思路就是聯(lián)立直線方程和橢圓方程通過消元得到一個一元二次方程，確定判別式的情況，正確書寫、利用韋達定理，由，兩點(不是左右頂點)，橢圓的右頂點為，且滿足，根據(jù)向量的數(shù)量積為零，可得到關于兩個根的等式，再利用韋達定理可得關于的等式，從而就可得出相應的結論.

試題解析：（1）

即

∴橢圓方程為 4分

又點在橢圓上，解得

∴橢圓的方程為 6分

(2)設，由得

，

8分

所以，又橢圓的右頂點

，

，解得 10分

，且滿足

當時，，直線過定點與已知矛盾 12分

當時，，直線過定點

綜上可知，當時，直線過定點，定點坐標為 14分.

考點：1.直線與橢圓的位置關系；2.韋達定理；3.平面向量的數(shù)量積；4.過定點的問題；5.直線與橢圓的綜合問題.