Question

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），橢圓的右頂點(diǎn)為，且滿足，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

 

Answer 1

(1) ；（2）.

【解析】

試題分析：(1)本小題通過待定系數(shù)法列出兩個(gè)關(guān)于的方程，通過解方程組求出橢圓的方程，包含著二次方的運(yùn)算需掌握；(2)本小題是直線與橢圓的位置關(guān)系的問題，這類題目的常用思路就是聯(lián)立直線方程和橢圓方程通過消元得到一個(gè)一元二次方程，確定判別式的情況，正確書寫、利用韋達(dá)定理，由，兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，橢圓的右頂點(diǎn)為，且滿足，根據(jù)向量的數(shù)量積為零，可得到關(guān)于兩個(gè)根的等式，再利用韋達(dá)定理可得關(guān)于的等式，從而就可得出相應(yīng)的結(jié)論.

試題解析：（1）

即

∴橢圓方程為 4分

又點(diǎn)在橢圓上，解得

∴橢圓的方程為 6分

(2)設(shè)，由得

，

8分

所以，又橢圓的右頂點(diǎn)

，

，解得 10分

，且滿足

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)與已知矛盾 12分

當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)

綜上可知，當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 14分.

考點(diǎn)：1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.韋達(dá)定理；3.平面向量的數(shù)量積；4.過定點(diǎn)的問題；5.直線與橢圓的綜合問題.