Question

已知數(shù)列{log₃（a_n-1）（n∈N^*）}為等差數(shù)列，且a₁=4，a₂=10．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 求證：

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用（I）和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{log₃（a_n-1）（n∈N^*）}的公差為d，
由a₁=4，a₂=10得log₃（4-1）=1，log₃（10-1）=2，
∴d=2-1=1；
∴l(xiāng)og₃（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，
∴an-1=3n，
即an=3n+1．
（Ⅱ）證明：∵

1

an+1-an

=

1

3n+1-3n

=

1

2

•

1

3n

，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

(

1

31

+

1

32

+

1

33

…+

1

3n

)
=

1

2

(

1 3 - 1 3n × 1 3

1- 1 3

)=

1

2

•

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．