Question

19．設(shè)f（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）的奇函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），且$f（{\frac{π}{2}}）=0$，當x∈（0，π）時，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，則關(guān)于x的不等式$f（x）＜2f（{\frac{π}{6}}）sinx$的解集為（　�。�

• A． $（{-\frac{π}{6}，0}）∪（{0，\frac{π}{6}}）$
• B． $（{-\frac{π}{6}，0}）∪（{\frac{π}{6}，π}）$
• C． $（{-\frac{π}{6}，0}）∪（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$
• D． $（{-π，-\frac{π}{6}}）∪（{0，\frac{π}{6}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{sinx}$，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系解不等式即可．

解答 解：令$g（x）=\frac{f（x）}{sinx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{sin^2x}$，
∵當x∈（0，π）時，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{sin^2x}$＜0，
即g（x）在（0，π）上遞減，在（-π，0）上遞增，
當x∈（0，π）時，$g（x）＜g（\frac{π}{6}）⇒\frac{π}{6}＜x＜π$；
當x∈（-π，0）時，$g（x）＞g（-\frac{π}{6}）⇒-\frac{π}{6}＜x＜0$；
故選B．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件造函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{sinx}$，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．