Question

10．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，A₁A=1，
（1）求證：直線BC₁∥平面D₁AC；
（2）求直線BC₁到平面D₁AC的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）求出三棱錐D_1-ABC的體積V，再△AD₁C為底面的三棱錐B--AD₁C的體積，從而求出線BC₁到平面D₁AC的距離即可．

解答 解：（1）因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，故AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，
故ABC₁D₁為平行四邊形，故BC₁∥AD₁，顯然B不在平面D₁AC上，
故 直線BC₁平行于平面DA₁C；
（2）直線BC₁到平面D₁AC的距離即為點(diǎn)B到平面D₁AC的距離（設(shè)為h）
以△ABC為底面的三棱錐D_1-ABC的體積V，可得V=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×2）×1=\frac{1}{3}$
而△AD₁C中，AC=D₁C=$\sqrt{5}，A{D_1}=\sqrt{2}$，故${S_{△A{D_1}C}}$=$\frac{3}{2}$
所以以△AD₁C為底面的三棱錐B--AD₁C的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×h=\frac{1}{3}⇒h=\frac{2}{3}$，
即直線BC₁到平面D₁AC的距離為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定定理，考查線面的距離以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．