Question

已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=1，圓D：x²+y²-2mx=0．
（1）若直線x+y-a=0與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若點(diǎn)A（x，y）是圓C上的任一點(diǎn)，且x²+y²-（m+

2

2

）x-（m+

2

2

）y≤0（m∈R）恒成立，判斷圓C與圓D的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：（1）求出圓的圓心與比較，直線x+y-a=0與圓C有公共點(diǎn)，說明圓心到直線的距離等于小于半徑，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用點(diǎn)A（x，y）是圓C上的任一點(diǎn)，得到x，y的范圍，化簡x²+y²-（m+

2

2

）x-（m+

2

2

）y≤0（m∈R）為m的不等式，利用基本不等式求出m的最小值，然后通過兩個(gè)圓的圓心距與半徑的關(guān)系，判斷圓C與圓D的位置關(guān)系．

解答： 解：（1）圓C的圓心為（1，1），半徑為1 …（2分）
∵直線x+y-a=0與圓C有公共點(diǎn)∴

|2-a|

2

≤1…（4分）
∴（a-2）²≤2∴2-

2

≤a≤2+

2

…（6分）
（2）∵點(diǎn)A（x，y）是圓C上的點(diǎn)∴x≥0，y≥0
∵x2+y2-(m+

2

2

)x-(m+

2

2

)y≤0(m∈R)恒成立
∴m+

2

2

≥

x2+y2

x+y

=

2(x+y)-1

x+y

=2-

1

x+y

…（8分）
由（1）可知x+y=a≤2+

2

∴2-

1

x+y

的最大值為1+

2

2

…（9分）
∴m+

2

2

≥1+

2

2

∴m≥1…（10分）
圓D的圓心為（m，0），半徑為m，圓C與圓D的圓心距為

(m-1)2+1

…（11分）
∵m-1＜

(m-1)2+1

＜m+1∴圓C與圓D相交 …（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，圓與圓的位置關(guān)系，圓的方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．