Question

12．已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，A、B的極坐標分別為A（2，π）、B（2，$\frac{4π}{3}$）．
（1）求直線AB的直角坐標方程；
（2）設(shè)M為曲線C上的動點，求點M到直線AB距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）將A（2，π）、B（2，$\frac{4π}{3}$），分別化為直角坐標為A（2cosπ，2sinπ），B$（2cos\frac{4π}{3}，2sin\frac{4π}{3}）$，利用斜率計算公式、點斜式即可得出．
（2）利用點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）將A（2，π）、B（2，$\frac{4π}{3}$），分別化為直角坐標為A（2cosπ，2sinπ），B$（2cos\frac{4π}{3}，2sin\frac{4π}{3}）$，
即A，B的直角坐標分別為A（-2，0），B（-1，-$\sqrt{3}$），
k_AB=$\frac{-\sqrt{3}-0}{-1+2}$=-$\sqrt{3}$，
∴直線AB的方程為y=-$\sqrt{3}$（x+2），
即AB的方程為$\sqrt{3}$x+y+2$\sqrt{3}$=0．
（2）設(shè)M（2cosθ，sinθ），它到直線AB距離d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ+sinθ+2\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ+φ）+2\sqrt{3}|}{2}$≤$\frac{\sqrt{13}+2\sqrt{3}}{2}$，當sin（θ+φ）=1時取等號．
∴點M到直線AB距離的最大值是$\frac{\sqrt{13}+2\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、點斜式、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．