Question

2．用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體框架，要求長方形的長與寬之比為2：1，則該長方體的體積最大值為3m³．

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，長方體的所有棱長和是18m，故可設(shè)出寬，用寬表示出長和高，將體積表示成寬的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)來求其最大值即可．

解答 解：設(shè)該長方體的寬是x米，由題意知，其長是2x米，高是$\frac{9}{2}$-3x米，（0＜x＜$\frac{3}{2}$）
則該長方體的體積V（x）=x•2x•（$\frac{9}{2}$-3x）=-6x³+9x²，
由V′（x）=-18x²+18x=0，得到x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜$\frac{3}{2}$時(shí)，V′（x）＜0，
即體積函數(shù)V（x）在x=1處取得極大值V（1）=3，
也是函數(shù)V（x）在定義域上的最大值．
所以該長方體體積最大值是3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本小題主要考查長方體的體積及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力．