Question

19．某大型連鎖商廈對自己的員工購買本商廈的物品，實行每月一號兩種獎勵，第一種u：在規(guī)定的商品范圍內(nèi)自由挑選一件，第二種v：送積分，月末發(fā)獎金（二選一），調(diào)查資料表明，凡是在本月一號選u的員工，下月一號會有40%改選v，而選v的員工，下月一號則有50%改選u，若此商廈共有1800名員工，用u_n、v_n分別表示在第n（n為正整數(shù)）個月一號選u，v優(yōu)惠方式的人數(shù)．
（1）試以u_n表示u_n+1；
（2）若u₁=0，求數(shù)列{u_n}、{v_n}的通項公式；
（3）在（2）的情況下，問第幾個月是一號，選u與選v獎勵方式人數(shù)相等．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{u}_{n+1}=\frac{3}{5}{u}_{n}+\frac{1}{2}{v}_{n}}\\{{u}_{n}+{v}_{n}=1800}\end{array}\right.$，消去v_n，即可；
（2）根據(jù)題意，遞推關(guān)系式${u}_{n+1}-1000=\frac{1}{10}（{u}_{n}-1000）$，得{u_n-1000}為等比數(shù)列，即得{u_n}的通項公式，從而得{v_n}的通項公式；
（3）令u_n=v_n，解之即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{u}_{n+1}=\frac{3}{5}{u}_{n}+\frac{1}{2}{v}_{n}}\\{{u}_{n}+{v}_{n}=1800}\end{array}\right.$，
消去v_n，得 u_n+1=$\frac{1}{10}{u}_{n}+900$；
（2）由（1）知u_n+1=$\frac{1}{10}{u}_{n}+900$，
所以${u}_{n+1}-1000=\frac{1}{10}（{u}_{n}-1000）$，即$\frac{{u}_{n+1}-1000}{{u}_{n}-1000}=\frac{1}{10}$，
又u₁=0，所以{u_n-1000}是以-1000為首項，公比為$\frac{1}{10}$的等比數(shù)列，
從而u_n=$1000×（1-\frac{1}{1{0}^{n-1}}）$=1000-10^4-n，
又此商廈共有1800名員工，所以v_n=1800-u_n=800+10^4-n；
（3）在（2）的情況下，當選u與選v獎勵方式人數(shù)相等時，
即有1000-10^4-n=800+10^4-n，化簡得100=10^4-n，解得n=2．
即第二個月一號時，選u與選v獎勵方式人數(shù)相等．

點評 本題考查數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用，考查學生對數(shù)學知識的應(yīng)用能力，屬中檔題．