Question

14．已知函數(shù)f（x）=2ax²+bx-3a+1，當(dāng)x∈[-4，4]時，f（x）≥0恒成立，則5a+b最值為最大值為$\frac{17}{21}$；最小值為-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，f（0）≥0成立，所以a≤$\frac{1}{3}$，再分類討論，利用線性規(guī)劃知識求解，即可求出5a+b的最小值．

解答 解：由題意，f（0）≥0成立，所以a≤$\frac{1}{3}$．
①0＜a≤$\frac{1}{3}$時，則問題等價于$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4a}≤-4}\\{f（-4）≥0}\end{array}\right.$（1）或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4a}≥4}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$（2）或$f（-\frac{4a}）≥0$（3）
（1）$\left\{\begin{array}{l}{16a-b≤0}\\{29a-4b+1≥0}\end{array}\right.$，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點O（0，0）時，取得最小值0；
直線z=5a+b經(jīng)過點（$\frac{1}{35}$，$\frac{16}{35}$）時，取得最大值$\frac{21}{35}$；

（2）$\left\{\begin{array}{l}{16a+b≤0\\;}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點A（$\frac{1}{35}$，-$\frac{16}{35}$）時，取得最小值-$\frac{11}{35}$；
直線z=5a+b經(jīng)過點O（0，0）時，取得最大值0；

（3）24a²-8a+b²≤0，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點B（$\frac{1}{21}$，-$\frac{12}{21}$）時，取得最小值-$\frac{1}{3}$；
直線z=5a+b經(jīng)過點（$\frac{1}{21}$，$\frac{12}{21}$）時，取得最大值$\frac{17}{21}$；

②a≤0時，問題等價于$\left\{\begin{array}{l}{f（-4）≥0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{29a-4b+1≥0}\\{29a+4b+1≥0}\end{array}\right.$，對應(yīng)的區(qū)域如圖所示，
由圖知，直線z=5a+b經(jīng)過點C（0，-$\frac{1}{4}$）時，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
直線z=5a+b經(jīng)過點C（0，$\frac{1}{4}$）時，取得最大值$\frac{1}{4}$；
綜上，a=$\frac{1}{21}$，b=$\frac{12}{21}$時，取得最大值$\frac{17}{21}$．
a=$\frac{1}{21}$，b=-$\frac{12}{21}$時，取得最小值-$\frac{1}{3}$．
故答案為，：5a+b最大值為$\frac{17}{21}$；最小值為-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查的是不等式以及線性規(guī)劃，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于難題．