Question

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∠BAC=∠ACD=90°，AECD，DC=AC=2AE=2．
（I）求證：AF平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．

Answer 1

解：（I）取BD的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，則PF，
∵，∴EAPF，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，∴AFEP，
又∵EP面BDE，AF平面BDE，
∴AF面BDE．
（Ⅱ）以CA，CD所在直線分別作為x軸，z軸，以過C點(diǎn)和AB平行的直線作為y軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由DC=AC=2AE=2，
得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），
則，，
∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AB⊥AC，
∴AB⊥面ACDE，
∴是平面CDE的一個(gè)法向量，
設(shè)面BDE的一個(gè)法向量=（x，y，z），則，
∴，即，整理，得，
令y=1，則z=2，x=1，
∴是平面CDE的一個(gè)法向量，
故===，
由圖形知二面角B﹣DE﹣C的平面角，
所以二面角B﹣DE﹣C的余弦值為．