Question

11．函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：
①對任意的x∈R，有f（x）＞0；
②對任意的x，y∈R，都有f（xy）=[f（x）]^y；
③$f（\frac{1}{3}）＞1$．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式：[f（x-1）]^（x+1）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可以令y=0，代入f（xy）=[f（x）]^y，即可求得f（0）的值；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可令x₁=$\frac{1}{3}$P₁，x₂=$\frac{1}{3}$P₂，故p₁＜p₂，再判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，從而可證其單調(diào)性；，
（Ⅲ）利用條件得到f（x²-1）＞f（0），根據(jù)f（x）是增函數(shù)代入不等式，解不等式即可．

解答 解：（1）：（Ⅰ）∵對任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²⇒f（0）=1；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則令x₁=$\frac{1}{3}$P₁，x₂=$\frac{1}{3}$P₂，故p₁＜p₂，
∵函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③$f（\frac{1}{3}）＞1$
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{1}{3}$P₁）-f（$\frac{1}{3}$P₂）=[f（$\frac{1}{3}$）]^P₁-[f（$\frac{1}{3}$）]^P₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)．
（Ⅲ）∵f（0）=1，：[f（x-1）]^（x+1）＞1．
∴[f（x-1）]^（x+1）=f（（x-1）（x+1））＞f（0）．
∴x²-1＞0，
解得x＜-1，或x＞1，
∴不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評 本題給出抽象函數(shù)，求特殊的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性并依此解關(guān)于x的不等式．著重考查了函數(shù)的單調(diào)性及其應用、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)和抽象函數(shù)具體化的處理等知識點，屬于中檔題．