Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=x•1nx，g（x）=ax²-2ax+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[1，2]，a∈[1，2]，求證：f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=1+1nx，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=x•1nx-ax²+2ax-1，從而求導(dǎo)F′（x）=1+lnx-2ax+2a，F(xiàn)″（x）=$\frac{1}{x}$-2a，從而確定函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x•1nx，f′（x）=1+1nx，
故當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{1}{e}$），
單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（2）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=x•1nx-ax²+2ax-1，
故F′（x）=1+lnx-2ax+2a，F(xiàn)″（x）=$\frac{1}{x}$-2a，
∵x∈[1，2]，a∈[1，2]，
∴F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a＜0，
∴F′（x）在[1，2]上是減函數(shù)，
又∵F′（1）=1+0=1＞0，F(xiàn)′（2）=1+ln2-4a+2a=1+ln2-2a＜0，
∴F（x）在[1，2]上先增后減，
故F（x）的最小值在x=1或x=2上取得，
而F（1）=1ln1-a+2a-1=a-1≥0，（a∈[1，2]）；
F（2）=2ln2-4a+4a-1=2ln2-1=ln4-1＞0，
故F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題與函數(shù)思想的應(yīng)用．構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）是關(guān)鍵．