Question

11．已知函數y=f（x）=2x³-3x．
（1）求y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（1），即切線的斜率，計算f（1），代入切線方程整理即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數在閉區(qū)間的最大值即可．

解答 解：（1）由f（x）=2x³-3x得：
f′（x）=6x²-3，k=f′（1）=6-3=3，f（1）=-1，
所以求y=f（x）在x=1處的切線方程為：
y+1=3（x-1），即y=3x-4；
（2）令f'（x）=6x²-3=0，得$x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴f（x）在[-2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞增，在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]遞增，
而f（-2）=-10，$f（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\sqrt{2}$，$f（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=-\sqrt{2}$，f（1）=-1，
∴f（x）在區(qū)間[-2，1]上的最大值為$f（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\sqrt{2}$．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道基礎題．