Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），其圖象相鄰的兩條對稱軸方程為x=0與x=$\frac{π}{2}$，則（　�。�

• A． f（x）的最小正周期為2π，且在（0，π）上為單調(diào)遞增函數(shù)
• B． f（x）的最小正周期為2π，且在（0，π）上為單調(diào)遞減函數(shù)
• C． f（x）的最小正周期為π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上為單調(diào)遞增函數(shù)
• D． f（x）的最小正周期為π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上為單調(diào)遞減函數(shù)

Answer 1

分析 化簡f（x），由兩條相鄰對稱軸，得到周期與ω，且由對稱軸得到φ，由此得到區(qū)間上的單調(diào)性．

解答 解：∵f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）
=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ-$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜2π），
∵圖象相鄰的兩條對稱軸方程為x=0與x=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，∴ω=2，
∵對稱軸方程為x=0，
∴f（0）=$\sqrt{2}$或f（0）=-$\sqrt{2}$，
sin（φ-$\frac{π}{4}$）=1或-1，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$），
∴f（x）的最小正周期為π，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，2x-$\frac{π}{2}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
且在（0，$\frac{π}{2}$）上為單調(diào)遞增．
故選：C

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡，以及由對稱軸，得到周期與ω以及φ，由此得到區(qū)間上的單調(diào)性．