Question

在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為

x= 5 cosφ y= 15 sinφ

（φ為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)P(

3

，

π

2

)，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=

3

2cos(θ- π 6 )

．
（1）判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系，說明理由；
（2）設(shè)直線l與曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把直線直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)滿足直線的方程，可得點(diǎn)P(0，

3

)在直線l上．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，可得 t²+2t-8=0，則由韋達(dá)定理可得 t₁•t₂=-8，從而求得|PA|•|PB|=|t₁•t₂|的值．

解答： 解：（1）直線直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=

3

2cos(θ- π 6 )

即

3

ρcosθ+ρsinθ=

3

，
故直線l的直角坐標(biāo)方程為

3

x+y=

3

，再根據(jù)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（0，

3

 ），滿足直線的方程，
故點(diǎn)P(0，

3

)在直線l上．
（2）直線l的參數(shù)方程為

x=- 1 2 t y= 3 + 3 2 t

（t為參數(shù)），曲線C的直角坐標(biāo)方程為

x2

5

+

y2

15

=1，
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，可得 t²+2t-8=0，
設(shè)兩根為t₁、t₂，則由韋達(dá)定理可得 t₁•t₂=-8，∴|PA|•|PB|=|t₁•t₂|=8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)的幾何意義，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．