Question

2．已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，則稱f（x）為°F函數(shù)，給出下列函數(shù)：
①f（x）=0；
②f（x）=x²；
③f（x）=sinx+cosx；
④f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；
⑤f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
其中是°F函數(shù)的序號(hào)為①④⑤．（少選或多選一律不給分）

Answer 1

分析 由存在常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，只要找到M即可判斷出正誤．

解答 解：由題意對(duì)于①f（x）=0，顯然對(duì)任意常數(shù)m＞0，均成立，故f（x）為°F函數(shù)；
對(duì)于②，x→∞時(shí)，$\frac{|f（x）|}{|x|}$=|x|→+∞，因此|f（x）|＜m|x|，不成立，故其不是°F函數(shù)；
對(duì)于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時(shí)，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是°F函數(shù)；
對(duì)于④，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；|f（x）|=|x|$•\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$≤$\frac{4}{3}$|x|，故對(duì)任意的m＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜m|x|，故其是°F函數(shù)；
對(duì)于⑤f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，因此f（x）具有單調(diào)性，或f（x）≡0，因此滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
綜上可得：①④⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義、函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．