Question

1．已知點O為線段AB=4的中點，C為平面上任一點，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$（C與A，B不重合），若P為線段OC上的動點，則$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 0
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式和向量的幾何意義即可求出．

解答 解：如圖，因為O為AB的中點，所以$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PO}$，
從而$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）\;•\;\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}\;•\;\overrightarrow{PC}$=$-2|\overrightarrow{PO}|\;•\;|\overrightarrow{PC}|≥$$-2{（{\frac{{|\overrightarrow{PO}|\;+\;|\overrightarrow{PC}|}}{2}}）^2}$．
因為CA⊥CB，所以C的軌跡是以AB為直徑的圓，則OC=2．
又$|\overrightarrow{PO}|+\;|\overrightarrow{PC}|=|\overrightarrow{OC}|=2$為定值，
所以當且僅當$|\overrightarrow{PO}\;|=|\overrightarrow{PC}|=1$，即P為OC的中點時，
$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）\;•\;\overrightarrow{PC}$取得最小值-2，
故選：D．

點評 本題主要考查向量在幾何中的應用以及基本不等式的應用問題，是對基礎知識的考查，屬于基礎題目．