Question

11．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足x²$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow{0}$，x∈R．記△=$\overrightarrow$²-4$\overrightarrow a\overrightarrow c$，下列說法正確的是③．（只填序號）
①若△=0，則x有唯一解；
②若△＞0，則x有兩解；
③若△＜0，則x無解．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{c}$，代入計(jì)算△=$\overrightarrow$²-4$\overrightarrow a\overrightarrow c$，討論△=0、△＞0和△＜0時x解的情況，從而判斷出正確的命題．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足x²$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow{0}$，x∈R，
∴$\overrightarrow{c}$=-x²$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，
∴△=$\overrightarrow$²-4$\overrightarrow a\overrightarrow c$
=${\overrightarrow}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$（x²$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）
=${\overrightarrow}^{2}$+4x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
當(dāng)△=0時，${\overrightarrow}^{2}$+4x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0
∴x²=-$\frac{{\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$，
${\overrightarrow}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＞0時x無解，
${\overrightarrow}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0時x有2解，
${\overrightarrow}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0時x有1解，故①錯誤；
當(dāng)△＞0時，${\overrightarrow}^{2}$+4x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＞0
∴x²＞-$\frac{{\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$，x有無數(shù)解，故②錯誤；
當(dāng)△＜0時，${\overrightarrow}^{2}$+4x²${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0
∴x²＜-$\frac{{\overrightarrow}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{4\overrightarrow{a}}^{2}}$，x無解，故③正確．
綜上，正確的命題是③．
故答案為：③．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的運(yùn)算性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了方程與不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．