Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-l|+|x-3|．
（I）解不等式f（x）≤6；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax-1對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）把不等式f（x）≤6等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象不能在y=ax-1的圖象的下方，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x-l|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4，x＜-1}\\{2，-1≤x≤3}\\{2x-4，x＞3}\end{array}\right.$ 的圖象如圖所示，

（I）不等式f（x）≤6，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4≤6}\\{x＜-1}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{2x-4≤6}\\{x＞3}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{2≤6}\\{-1≤x≤3}\end{array}\right.$③．
解①求得x∈∅，解②求得3＜x≤5，解③求得-1≤x≤3．
綜上可得，原不等式的解集為[-1，5]．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax-1對(duì)任意x∈R恒成立，則函數(shù)f（x）的圖象
不能在y=ax-1的圖象的下方．
如圖所示：
由于圖中兩題射線的斜率分別為-2，2，點(diǎn)B（3，2），
∴3a-1≤2，且 a≥-2，求得-2≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．