Question

4．已知數(shù)列{b_n}的前n項的和為S_n，且b₁=1，b_n+1=3S_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{n}{_{n}}$，探究數(shù)列{c_n}中是否存在最大項？并給以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b_n+1=3S_n，得b_n=3S_n-1，兩式相減，得b_n+1=4b_n，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列{c_n}中存在最大項c_n=$\frac{4n}{{4}^{n}}$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n}{{4}^{n}}≥\frac{4（n+1）}{{4}^{n+1}}}\\{\frac{4n}{{4}^{n}}≥\frac{4（n-1）}{{4}^{n-1}}}\end{array}\right.$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{b_n}的前n項的和為S_n，且b₁=1，b_n+1=3S_n（n∈N^*），
∴n≥2時，b_n=3S_n-1，
兩式相減，得：b_n+1-b_n=3b_n，即b_n+1=4b_n，
∴{b_n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，
∴b_n=4^n-1．
（Ⅱ）數(shù)列{c_n}中存在最大項．
證明如下：
c_n=$\frac{n}{_{n}}$=$\frac{n}{{4}^{n-1}}$=$\frac{4n}{{4}^{n}}$，
假設(shè)數(shù)列{c_n}中存在最大項c_n=$\frac{4n}{{4}^{n}}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4n}{{4}^{n}}≥\frac{4（n+1）}{{4}^{n+1}}}\\{\frac{4n}{{4}^{n}}≥\frac{4（n-1）}{{4}^{n-1}}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4n≥n+1}\\{4n≥16（n-1）}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}≤n≤\frac{4}{3}$，
∵n∈N^*，∴n=1，
∴數(shù)列{c_n}中存在最大項${C}_{1}=\frac{4×1}{{4}^{1}}$=1．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列中最大項是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．