Question

【題目】如圖，平面平面，且，．

（1）求證：；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作，利用邊角邊可得≌，即可證明；（2）方法一，過(guò)點(diǎn)B作出平面ADC的垂線(xiàn)，即可找到線(xiàn)面角，利用等體積轉(zhuǎn)化法可求出點(diǎn)B到平面ADC的距離，即可求出線(xiàn)面角的余弦值；方法二，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ADC的法向量，利用空間向量的方法即可求解.

（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，

因，，所以,

故≌，所以,即，

又 ,所以平面，又平面,故．

（2）方法一：不妨設(shè)，則，，所以,過(guò)點(diǎn)作平面，連接，

則即為直線(xiàn)與平面所成的角，

由等體積可得，

即，∴．

方法二 ：由（1）可得 ，所以以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

不妨設(shè)，則，，，,

設(shè)平面的法向量為，

，，

即有，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，故，

∴．