已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)F1、F2,離心率為
1
2
,雙曲線方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0),直線x=2與雙曲線的交點(diǎn)為A、B,且|AB|=
4
21
3

(Ⅰ)求橢圓與雙曲線的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)F2的直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn),交雙曲線與P、Q兩點(diǎn),當(dāng)△F1MN(F1為橢圓的左焦點(diǎn))的內(nèi)切圓的面積取最大值時,求△F1PQ的面積.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知得
a2-b2
a
=
1
2
2
4a2
b2
+a2
=
4
21
3
,由此能求出橢圓和雙曲線方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l方程為x=my+1,與橢圓方程聯(lián)立得(3m2+4)y2+6my-9=0,由韋達(dá)定理和弦長公式推導(dǎo)出△F1MN(F1為橢圓的左焦點(diǎn))的內(nèi)切圓的面積取最大值時,過點(diǎn)F2的直線l的方程為x=1,由此能求出△F1PQ的面積.
解答: 解:(Ⅰ)由已知得
a2-b2
a
=
1
2
2
4a2
b2
+a2
=
4
21
3
,
解得a2=4,b2=3,
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
,雙曲線方程為
y2
4
-
x2
3
=1.
(Ⅱ)∵三角形內(nèi)切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍,且△F1MN的周長是定值8,
∴只需求出△F1MN面積的最大值.
設(shè)直線l方程為x=my+1,與橢圓方程聯(lián)立得(3m2+4)y2+6my-9=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=-
6m
3m2+4
,y1y2=-
9
3m2+4
,
于是SF1PQ=
1
2
|F1F2|•|y1-y2|
=
(y1+y2)2-4y1y2
=12
m2+1
(3m2+4)2

m2+1
(3m2+4)2
=
1
9m2+15+
1
m2+1
=
1
9(m2+1)+
1
m2+1
+6
1
16
,
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時,△F1MN(F1為橢圓的左焦點(diǎn))的內(nèi)切圓的面積取最大值,
∴△F1MN(F1為橢圓的左焦點(diǎn))的內(nèi)切圓的面積取最大值時,過點(diǎn)F2的直線l的方程為x=1,
聯(lián)立
x=1
y2
4
-
x2
3
=1
,得P(1,
4
3
3
),Q(1,-
4
3
3
),F(xiàn)1(-1,0),
∴|PF1|=|QF1|=
(1+1)2+(
4
3
3
-0)2
=
2
21
3
,|PQ|=
8
3
3
,|F1F2|=2,
∴△F1PQ的面積S=
1
2
×|PQ|×|F1F2|
=
1
2
×
8
3
3
×2
=
8
3
3
點(diǎn)評:本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法,考查三角形的面積的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意韋達(dá)定理、弦長公式的合理運(yùn)用.
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a2
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1
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3x2
1-x
+
3x+1
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A、(-
1
3
,+∞)
B、(-
1
3
,1)
C、[-
1
3
,1)
D、[0,1)

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PF1
PF2
的值是( 。
A、2
B、
2
C、2
2
D、1

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若冪函數(shù)f(x)=xα(α∈{2,0,1,4})為奇函數(shù),則α=
 

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x2=49的充分必要條件是( 。
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B、x=-7
C、x=7或x=-7
D、x=7且x=-7

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在下列函數(shù)中,最小值為2的是( 。
A、y=
x2+2
+
1
x2+2
B、y=lgx+
1
lgx
(1<x<10)
C、y=x+
1
x
(x>0)
D、y=x2-2x+4

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