Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F₂，點F₁與F₂關(guān)于坐標原點對稱，以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓C，過點（1，

2

2

），
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)T（2，0），過點F₂作直線l與橢圓C交于A，B兩點，且

F2A

=λ

F2B

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|²的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，由y²=4x求得c=1．設(shè)橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由于橢圓C過點（1，

2

2

），代入橢圓方程結(jié)合a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可；
（II）設(shè)l：x=ky+1，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，由λ∈[-2，-1）可得到k²的取值范圍．由于

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），通過換元，令t=

1

k2+2

∈[

7

16

，

1

2

]，即可得出|

TA

+

TB

|²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，由y²=4x得c=1，
設(shè)橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵橢圓C過點（1，

2

2

），
∴

1

a2

+

1 2

b2

=1，
又a²=b²+1，
聯(lián)立解得b²=1，a²=2．
故橢圓C的標準方程為橢圓方程為

x2

2

+y²=1

（Ⅱ）由題意可設(shè)l：x=ky+1，由

x=ky+1 x2+2y2-2=0

得（k²+2）y²+2ky-1=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

y1+y2= -2k k2+2 ① y1y2= -1 k2+2 ② y1=λy2(λ＜0)③

將①²÷②得

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

4k2

k2+2

⇒λ+

1

λ

+2=

4k2

k2+2

由λ∈[-2，-1]得-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0⇒-

1

2

≤

-4k2

k2+2

≤0，0≤k²≤

2

7

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
x₁+x₂-4=k（y₁+y₂）-2=-

4(k2+1)

k2+2

，
|

TA

+

TB

|=

16(K2+1)2

(k2+2)2

+

4k2

(k2+2)2

=

16(k2+2)2-28(k2+2)+8

(k2+2)2

=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

令t=

1

k2+2

∈[

7

16

，

1

2

]，|

TA

+

TB

|²=8t²-28t+16
∴t=

1

2

時|

TA

+

TB

|²的最小值是4

點評：本題綜合考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)、換元法、分類討論、向量相等及其向量運算和向量的模等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．