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數列{an}滿足a1=1，且對任意的正整數m，n都有am+n=am+an+mn，則
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2012
+
1
a2013
=
2013
1007
2013
1007
．
分析：先令n=1找遞推關系并求通項公式，再利用通項的特征求和，即可得到結論．
解答：解：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1-an=n+1
用疊加法：an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+…+n=
n(n+1)
2

所以
1
an
=
2
n(n+1)
=2（
1
n
-
1
n+1
）
所以
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2012
+
1
a2013
=2(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2013
-
1
2014
)=2×
2013
2014
=
2013
1007

故答案為：
2013
1007
點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設b＞0，數列{an}滿足a1=b，an=
nban-1an-1+n-1
（n≥2）
（1）求數列{an}的通項公式；
（4）證明：對于一切正整數n，2an≤bn+1+1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}滿足a1=1，a2=2，an=
an-1an-2
(n≥3)，則a17等于
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，數列{an}滿足a1=a，an+1=a+
1
an
，n=1，2，….
（I）已知數列{an}極限存在且大于零，求A=
lim
n→∞
an（將A用a表示）；
（II）設bn=an-A，n=1，2，…，證明：bn+1=-
bn
A(bn+A)
；
（III）若|bn|≤
1
2n
對n=1，2，…都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足a1=1，an=
12
an-1+1(n≥2)
（1）若bn=an-2，求證{bn}為等比數列；    
（2）求{an}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}滿足a1=
4
3
，an+1=an2-an+1（n∈N*），則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數部分是（　　）

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