Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-4|-a
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）+$\frac{12}{a}$≥1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可求得最小值；
（2）f（x）+$\frac{12}{a}$≥1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立?5-a+$\frac{12}{a}$≥1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+1|+|x-4|-1≥|（x+1）-（x-4）|-1=5-1=4．
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇4，+∞）．------（5分）
（2）f（x）+$\frac{12}{a}$≥1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立?5-a+$\frac{12}{a}$≥1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立
∴$\frac{{a}^{2}-4a-12}{a}$≤0-------（8分）
∴a≤-2或0＜a≤6
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]∪（0，6]．-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值函數(shù)以及恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．