Question

20．已知函數(shù)$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$，若f（x）滿足f（x+π）=-f（x），且$f（0）=\frac{1}{2}$，則函數(shù)h（x）=2cos（ωx+φ）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域為（　　）

• A． $[{-1，\sqrt{3}}]$
• B． $[{-2，\sqrt{3}}]$
• C． $[{-\sqrt{3}，2}]$
• D． $[{1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得f（x）的解析式，可得h（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)h（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$ 滿足f（x+π）=-f（x），∴f（x+2π）=f（x），故f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=2π，
∴ω=1，f（x）=sin（x+φ）．
∵$f（0）=\frac{1}{2}$=sinφ，即sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）．
則函數(shù)h（x）=2cos（ωx+φ）=2cos（x+$\frac{π}{6}$），在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴h（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\sqrt{3}$]，
故選：A．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．